Qu’est-ce que le théorème de Bernoulli ?

Le théorème de Bernoulli pose la base de la dynamique des fluides et plus généralement de la mécanique des fluides. Il permet d’expliquer de nombreux phénomènes, notamment en aérodynamique. Par le théorème de Bernoulli, plusieurs lois et effets sont associés à la mécaniques des fluides : l’effet Magnus, l’effet Venturi, le tube de Pitot ou encore la loi de l’hydrostatique.

Qu’est-ce que le principe de Bernoulli ?

Établi en 1738 par Daniel Bernoulli, le principe de Bernoulli fait le lien entre la vitesse d’un fluide et sa pression en un point donné. La formulation mathématique permet d’analyser l’écoulement permanent d’un fluide incompressible.

Historique du théorème de Bernoulli

La première version du théorème de Bernoulli paraît dans la première édition du Hydrodynamica – De Viribus et motibus fluidorum commentarii en 1738. Il y est formulé comme un bilan macroscopique et une méthode de calcul, dans le but de résoudre un problème technique : la détermination de la durée de vidange des vases possédant un orifice. En posant les bases de la dynamique des fluides, Daniel Bernoulli ouvre les fondations de l’hydrodynamique en tant que discipline physique moderne.

Grâce à Leonhard Euler, ami de la famille Bernoulli, le théorème de Bernoulli est énoncé sous une formulation plus contemporaine. Ainsi, L. Euler réussit à développer le théorème pour une application en aérodynamique, alors que le théorème était initialement destiné aux fluides en mouvement dans des conduits.

Qu’énonce le principe de Bernoulli ?

L’énoncé du principe de Bernoulli est le suivant :

« Dans un fluide s’écoulant horizontalement, la pression du fluide aux points où sa vitesse est élevée, est plus faible que la pression du fluide aux points où sa vitesse est plus faible. »

Pour simplifier le principe de Bernoulli, on admet le fait qu’un fluide en mouvement depuis une zone haute pression vers une zone de plus basse pression accélère car la résultante des forces à laquelle il est soumis est orientée dans le sens de son mouvement.

Ainsi, un jet d’eau à grande vitesse aura plus d’impact et exercera une plus grande pression sur le corps contre lequel il est dirigé. Oui, mais il y a bien deux pressions différentes :

• La pression interne du fluide qui force dans toutes les directions lors de l’écoulement ;
• La pression qu’exerce le fluide sur un objet obstruant son chemin, pouvant ralentir voire arrêter son mouvement.

Quelle est la formule énoncée par le théorème de Bernoulli ?

Pour un écoulement :

• De fluide parfait (non visqueux) ;
• Incompressible (masse volumique constante) ;
• En régime stationnaire ;
• Sans transfert d’énergie sous forme de chaleur.

La quantité de Bernoulli se vérifie par cette équation :

• v2/2 + g z + p / ⍴ = constante

Cette équation est considérée comme un principe de conservation d’énergie de fluides en mouvement. Les pressions et les forces mécaniques forment un ensemble de pressions étudié par unité de volume. Cette somme de pressions est constante tout le long du conduit.

Quelles sont les applications du théorème de Bernoulli ?

Le théorème de Bernoulli a été la base de travail de plusieurs lois et effets :

• La loi de l’hydrostatique :

Si la vitesse est nulle dans la formulation du théorème de Bernoulli, alors s’applique la loi de l’hydrostatique.

• L’effet Magnus :

Si un obstacle se trouve à l’intérieur du tube de section constante, et que cet objet est un cylindre tournant sur un axe perpendiculaire à la canalisation, la section est diminuée mais le frottement accélère le fluide d’un côté et le ralentit de l’autre. La force que subit ce cylindre est l’effet Magnus.

• L’effet Venturi :

Si la canalisation se rétrécit, contrairement au théorème de Bernoulli où le conduit s’élargit, le fluide va s’accélérer et sa pression diminuer.

• Le tube de Pitot :

C’est un appareil de mesure pour évaluer la vitesse d’écoulement du fluide en calculant la différence de pression entre deux points A et B de l’écoulement reliés par une ligne de courant. Au point A, la vitesse est considérée nulle, on cherche alors la vitesse en B.

Le théorème de Bernoulli vous a passionné ? La mécanique des fluides se compose de nombreux autres sujets, comme le calcul de la masse volumique, la perte de charge ou encore la mesure de la viscosité d’un fluide.